Problèmes posables en MPSI
Début d'année
Nombres Complexes
deux exercices : un des Mines, l'autre de l'école de l'Air. Corrigé.
résolution d'une équation de degré 3. Corrigé.
équation complexe. Corrigé.
distance minimale. Corrigé.
inversion et points rationnels sur un cercle. Corrigé.
homographies. Corrigé.
Fonctions usuelles
un produit infini, application à une série de fonctions. Corrigé.
deux exercices sur les fonctions puissances. Corrigé.
formules de multiplication de l'angle pour tangente et tangente hyperbolique. Corrigé.
fonctions circulaires réciproques. Corrigé.
une équation de Pell-Fermat. Corrigé.
hyperbolisme. Corrigé.
Equations différentielles
une équation différentielle linéaire d'ordre un, un problème de Cauchy (à paramètre) pour l'ordre 2. Corrigé.
une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2, à coefficients non constants. Corrigé.
équations différentielles linéaires homogènes d'ordres 3 et 4 très simples. Corrigé.
une équation différentielle avec un calcul de primitive. Corrigé.
équation différentielle à paramètres. Corrigé.
problème géométrique et équations différentielles. Corrigé.
équation différentielle à coefficients non constants. Corrigé.
équation de Bessel. Corrigé.
Géométrie élémentaire du plan ou de l'espace
courbure de cercles tangents. Corrigé.
points cocycliques ou alignés. Corrigé.
une perpendiculaire commune, un cercle dans l'espace. Corrigé.
points cosphériques. Corrigé.
axe radical. Corrigé.
trisection. Corrigé.
partition du disque unité. Corrigé.
Courbes paramétrées et coniques
courbes paramétrées. Corrigé.
points communs à certaines familles de coniques. Corrigé.
Analyse
Suites, borne supérieure
une suite implicite. Corrigé.
une suite récurrente. Corrigé.
convergence d'un produit. Corrigé.
exercices supplémentaires sur les suites. Corrigé.
théorème de Beatty. Corrigé.
(DM 15-16) demi-normes. Corrigé.
nombres de Liouville. Corrigé.
Fonctions d'une variable réelle
uniforme continuité. Corrigé.
homéomorphismes. Corrigé.
fonctions lipschitziennes et équation fonctionnelle. Corrigé.
sur les fonctions périodiques. Corrigé.
théorème de Darboux et taux d'accroissement. Corrigé.
fonctions absolument monotones. Corrigé.
méthode de Newton. Corrigé.
Intégration et étude locale
intégrales de Wallis. Corrigé.
intégration et linéarité. Corrigé.
diverses façons d'obtenir le DL de tangente. Corrigé.
arithmétique et intégrales. Corrigé.
calcul des variations. Corrigé.
fonctions à variations bornées. Corrigé.
transformée d'Euler. Corrigé.
Algèbre
Ensembles, applications, dénombrement
trois exercices abstraits sur les applications. Corrigé.
le théorème de Cantor-Bernstein. Corrigé.
fonctions presque doublement surjectives. Corrigé.
Exercices sur les symboles de somme et de produit, principe de récurrence. Corrigé.
dérangements d'un ensemble fini. Corrigé.
sommes de parties d'un groupe. Corrigé.
dérangements. Corrigé.
calculs d'une somme. Corrigé.
n-combinaisons. Corrigé.
Groupes, anneaux, corps
groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini. Corrigé.
l'anneau Z/nZ. Corrigé.
groupes diédraux. Corrigé.
exercices sur les groupes. Corrigé.
nombres de Fibonacci et arithmétique. Corrigé.
l'anneau Z^2. Corrigé.
groupe de Prufer. Corrigé.
Algèbre linéaire
liaison entre un endomorphisme et son carré. Corrigé.
racines carrées d'endomorphismes. Corrigé.
image et noyau supplementaires (oral des Mines). Corrigé.
idéaux de L(E). Corrigé.
racines n-ièmes de In. Corrigé.
réduction et suites récurrentes linéaires. Corrigé.
endomorphismes nilpotents de rang maximal. Corrigé.
matrices semblables à leur inverse (Mines Sup 2002). Corrigé.
développements limités et matrices nilpotentes (ISUP 04). Corrigé.
deux exercices sur le déterminant (oraux Mines et Centrale). Corrigé.
centre du commutant dans le cas diagonalisable. Corrigé.
exercices sur les projecteurs. Corrigé.
(DM1 16-17) Hyperplans stables par multiplication. Corrigé.
Sous-algèbres irréductibles. Corrigé.
(DS1 15-16) sous-groupes à un paramètre dans GL2(C). Corrigé.
matrices unipotentes. Corrigé.
valeurs propres et sous-espaces stables. Corrigé.
familles positivement génératrices. Corrigé.
Polynômes et fractions rationnelles
étude d'un polynôme. Corrigé.
relation de Bézout explicite. Corrigé.
polynômes à coefficients 1 ou -1 (X PC 06). Corrigé.
norme infinie d'un polynôme unitaire. Corrigé.
polynômes de Bernstein et approximation uniforme. Corrigé.
Algèbre bilinéaire
polynômes de Chebychev. Corrigé.
déterminant de Gram. Corrigé.
utilisation des projecteurs (CCP MP 10). Corrigé.
matrices de Hilbert (Centrale Supélec MP 11). Corrigé.
caractérisation trace sphère unité. Corrigé.
contrainte image rotation. Corrigé.